O que é progressão geométrica?

Progressão Geométrica (PG)

Uma progressão geométrica (PG) é uma sequência de números onde cada termo, a partir do segundo, é obtido multiplicando o termo anterior por uma constante, chamada razão (q). Em outras palavras, a divisão de qualquer termo (a partir do segundo) pelo seu antecessor resulta sempre no mesmo valor: a razão.

Definição Formal:

Uma sequência (a₁, a₂, a₃, ..., a_n) é uma PG se e somente se existe um número real q tal que a_n+1 = a_n * q, para todo n ≥ 1.

Termos Importantes:

• Primeiro Termo (a₁): O primeiro número da sequência.

• Razão (q): O valor constante que multiplica cada termo para obter o próximo. Calculada como q = a₂/a₁ = a₃/a₂ = ... = a_n/a_n-1.

• Termo Geral (a_n): Uma fórmula que permite calcular qualquer termo da PG conhecendo o primeiro termo e a razão: a_n = a₁ * q^(n-1), onde 'n' representa a posição do termo na sequência.

• Soma dos n Primeiros Termos (S_n): A soma dos 'n' primeiros termos da PG. Existem duas fórmulas para calcular S_n:

  • Se q ≠ 1: S_n = a₁ * (1 - qⁿ) / (1 - q)
  • Se q = 1: S_n = n * a₁ (Neste caso, a PG é constante)

• Soma dos Termos de uma PG Infinita (S_∞): Se a PG é infinita e a razão |q| < 1, a soma dos seus termos converge para um valor finito: S_∞ = a₁ / (1 - q). Se |q| ≥ 1, a soma não converge.

Classificação das PGs:

• Crescente: Quando a₁ > 0 e q > 1 ou a₁ < 0 e 0 < q < 1.
• Decrescente: Quando a₁ > 0 e 0 < q < 1 ou a₁ < 0 e q > 1.
• Constante: Quando q = 1.
• Alternante: Quando q < 0 (os termos alternam entre positivos e negativos).

Exemplos:

• (2, 4, 8, 16, ...) (PG crescente com a₁ = 2 e q = 2)
• (1, 1/2, 1/4, 1/8, ...) (PG decrescente com a₁ = 1 e q = 1/2)
• (3, 3, 3, 3, ...) (PG constante com a₁ = 3 e q = 1)
• (1, -2, 4, -8, ...) (PG alternante com a₁ = 1 e q = -2)

Aplicações:

As progressões geométricas têm diversas aplicações em matemática, física, finanças (juros compostos), biologia (crescimento populacional), e outras áreas.